几何学，简称几何，是研究空间区域关系的数学分支。“几何学”这个词，是来自阿拉伯文，原来的意义是“测量土地技术”。“几何学”这个词一直沿用到今天。在我国古代，这门数学分科并不叫“几何”，而是叫作“形学”。“几何”二字，在中文里原先也不是一个数学专有名词，而是个虚词，意思是“多少”。比如三国时曹操那首著名的《短歌行》诗，有这么一句：“对酒当歌，人生几何？”这里的“几何”就是多少的意思。 把“几何”一词作为数学的专业名词来使用的，用它来称呼这门数学分科的呢？这是明末杰出的科学家徐光启。

名称来源

      几何这个词最早来自于阿拉伯语，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、意并译。

      1607年出版的《几何原本》中关于几何的译法在当时并未通行，同时代也存在着另一种译名——形学，如狄考文、邹立文、刘永锡编译的《形学备旨》，在当时也有一定的影响。在1857年李善兰、伟烈亚力续译的《几何原本》后9卷出版后，几何之名虽然得到了一定的重视，但是直到20世纪初的时候才有了较明显的取代形学一词的趋势，如1910年《形学备旨》第11次印刷成都翻刊本徐树勋就将其改名为《续几何》。直至20世纪中期，已鲜有“形学”一次的使用出现。

      与代数学的起源一样，几何学的起源也十分久远，它产生于早期人类的社会实践，从人类对实物形状的认识开始。而促进几何学产生的直接原因与土地测量及天文活动有关。在古埃及，由于尼罗河每年泛滥一次，每次泛滥，洪水会淹没两岸的土地，一旦洪水退却，需要重新测量土地。因此便逐渐产生了关于几何形体的概念、性质及其度量方面的知识。今天的“几何”（Geometry）一词，源于希腊语，本意是指测量术，明末中国学者徐光启译之为“几何”，我们一直沿用至今。
　　早期文明中的几何学内容基本都是与几何形体的度量计算以及测量有关。埃及数学文献“莫斯科纸草书”与“兰德纸草书”中计有110个数学问题，其中有26个属于几何问题，重要是计算土地面积、谷物体积等公式。由此可见，埃及人当时已掌握了圆周长、面积的近似公式，还知道三角形、圆柱体的求积公式。这些知识也在其它古老文明中出现，巴比伦人在公元前2000年—前1600年，已熟悉计算长方形、直角三角形、等腰三角形的面积，以及一些形体的体积，还掌握了勾股定理的特殊情况。中国秦汉以前的几何学内容，没有留下文字性材料，详细情况不得而知，但从西汉成书的《九章算术》，以及农业社会的社会形态上看，这些几何知识也相当发达。

拓展材料：

1.几何学：http://baike.baidu.com/view/17425.htm

2. 可汗学院视频公开课：欧几里得几何学

欧几里得几何学

第五公设—从欧基里德到兰伯特

      第五公设是指欧几里得《几何原本》中提出的第五公设：“当两条直线被第三条直线所截，如有一侧的两个内角之和小于两直角，则将这两条直线向该侧适当延长后必定相交。”欧几里得的《几何原来‘生后，它统治了几何学2000余年，但对其持怀疑态度者也为数众多，最集中的怀疑点就是这第五公设。主要是两点，一是它远不发前面四条公讼那样简单清楚，而是语句冗长，含义不清；二是欧几里得本人也似乎尽量少用第五公设，直到第29个定理才用到它。对第五公设问题，从希腊时代到19世纪初，数学家基本上采用了两种研究方法。一种是承认它是公设，但认为公设的叙述太差，设法用另一条更简单明了的命题来代替；另一种是试衅通过证明来断定第五公设只是一个定理，从而把它从公设中除去。

     非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》。其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”、这一公设引起了广泛的讨论，欧几里得想说的意思实际很简单。两条平行的直线无限延长都不相交,这就是所谓 “ 平行公理 ”.欧几里得把这一公设说得遮遮掩掩,而且把不需要用第五公设就可证明的命题尽量排在前面,得出了前面的28个定理之后,才开始引人第5公设,这似乎也说明欧几里得本人对这一公设也缺乏信心。正如美国著名数学史家克莱因(Klein M) 在《古今数学思想》二书中所写的:“……按照 Euclid 那样方式陈述的平行公理 ,却被人认为有些过于复杂。虽说没有人怀疑它的真理性,却缺乏像其他公理那种说服力,即使 Euclid 自己显然也不喜欢他对平行公理的那种说法 ,因为他只是在证完了无需用平行公理的所有定理之后才使用它。

1.托里努斯《平行线理论》

      施韦卡特(SchwekartF ,1780-1857), 在27岁时发表了一篇文章,提出应该对欧几里得几何的论述方法从形式上进行改造 ,并且得出结论说，平行线公理不可能逻辑地得到证明;可以从三角形三内角之和小于180度出发,构造一种几何学。他将这种几何学称为 “星球几何学”。

      托里努斯本来也是法学家 , 他沿施韦卡特的路前进,从三角形三内角和小于180度的条件出发 ,得到了许多非欧几何的定理。他认为：欧几里得几何中的第5公设是独立于其他公设的,完全可以用 其它的公设取而代之。从而建立无逻辑矛盾的（非欧）几何。

      1824年,托里努斯把自己研究的成果写进《平行线理论》一书中，并寄给高斯。

      高斯在给托里努斯的回信中写道：“假定三角形三内角之和小于180度，可以得到一个独特的、完全不同于欧几里得的几何学。这一几何学完全符合逻辑。我能完全令人满意地把它加以推进。我能解决这一几何里的任何问题。”

      在信中高斯还说,在一定条件下,非欧几何将与欧几里得几何学一致。还深刻地指出,关于空间“我们知道得很少,或者可以说连空间的本质是什么也不知道"。看来高斯对于非欧几何有过深入的思考,下面的一句话尤其令人关注:

      “如果非欧几何是真理 ,那么……我们在天空、在地面的测量就是可行的 ,就可以通过实验来决定。因此,我有时开玩笑说 ,希望欧几里得几何学不是真理 ,因为那时我们事先就有了绝对长度。”

      的确,高斯可以说对非欧几何有十分深刻的认识,但是,他没有支持托里努斯,他担心公众会猛烈攻击这种 "稀奇古怪”的非欧几何 ,因为欧几里得几何学是如此之固如磐石 ,想动它一根 毫毛都会引起普遍的震怒,尤其是那些哲学家,会愤怒得像马蜂一样叮死叛逆者。高斯害怕这可怕的恶果 ,因此在信的末尾叮嘱托里努斯说:

      “在任何场合,您应该把我写的这封信当作私人通信,决不应该公开它。”

       托里努斯因为高斯支持了他的研究成果,非常高兴,急忙出了两本小册子《平行线理论》和《几何学原理初阶》(1826)),但他没有认真记住高斯那信尾的叮嘱,虽然十分高斯看到这小册子后,非常生气,立即中断了与托里努斯的信件来往。托里努斯的任何解释都无济于事。这件事对托里努斯打击很大,接着他害了一场重病,神经失常。当一次神经失常严重发作时,他把他写的书全烧了。一次有希望的努力,在高斯的支持下,本可在数学史上提前完成,但却被高斯亲手扼杀了。

2.鲍耶父子的悲剧

      鲍耶的父亲法尔卡什·鲍耶也是数学家,年轻时曾与高斯交往甚密,也得到过高斯的许多帮助。法尔卡什也曾研究过非欧几何,付出 了不少心血。他还与高斯谈过关于非欧几何的一些设想,但高斯敏锐地发现他在证明中犯了一个十分简单的错误。这对法尔卡什是一个严重的打击,这么多年的心血竟然一文不值!于是,他的心凉了,热爱数学的火花熄灭了,并且留下了永久未能愈合的创伤 ,以后“就染手诗歌的研究”,在数学上一事无成。

      几十年过去了,他的儿子亚诺什·鲍耶也鬼使神差地走上了研究非欧几何的道路。鲍耶的父亲知道他的打算后,立即写信给儿子,以自己血的教训劝儿子千万别走上这条永无出头之日的黑暗道路。鲍耶成竹在胸,于1825 年完成了他的《空间的绝对几何学》,并寄给父亲 ,请父亲设法发表。但父亲不相信儿子的理论,拒绝帮助发表。可怜的鲍耶,等了4 年,父亲仍然坚持己见。 1829 年,鲍耶只好自己把论文寄给一位叫艾克维尔的数学家,可惜又失落了。直到 1832 年法尔卡什出版自己20年前写的《试论数学定 理》(2卷)的时候,经鲍耶一再恳求,才答应把他的那篇文章作为附录附在第一卷的尾部。全文仅 24 页,却有一个奇特的标题:"《附录：绝对空间的科学》,和欧几里得几何学第11公理的真伪无关…… "

      法尔卡什为了放心,将书1832 年1月寄一份给老友高斯。高斯看了“附录”之后,大吃一惊,于3月给鲍耶父子回了一封信,信中先写了许多别的事情,到结尾处他才令人不可理解地、而且几乎是轻描淡写地转到让鲍耶急于想看到的"附录"上去。高斯写道：“现在谈一下关于您儿子的文章。如果我一开始便说我不夸奖这些成果,您会马上感到惊讶。但是,我不能不向你说明：夸奖这篇著作就等于夸奖我自己,因为您儿子的这些工作,他走过的路,他获得的成果,和我在30年到35年前思考的结果几乎完全相同。我自己对此也的确感到惊讶。我自己在这方面的著作,只写好一部分,我本来不想发表,因为绝大多数人完全不懂,写 出来肯定会引起一片反对的叫喊声。现在,有了老朋友的儿子能够把它写出来,免得它与我一间涅没,这使我非常高兴。"

      鲍耶看了高斯的信 ,愤怒之情实难言于表。鲍耶被这意外的结果震昏了头,根本无法接受这一“现实。”一出悲剧就这么酿成了!此后,可能会在数学上做出卓越贡献的鲍耶 ,一怒之下扔开了数学研究,再没有发表任何数学论文。

3.罗巴切夫斯基《几何原理概述及平行线定理的严格证明》

      罗巴切夫斯基 (1792 一 1856) 是俄国喀山大学的数学教授。他从1815年就开始研究非欧几何学。到1823年,31岁的罗巴切夫斯基就大胆而坚定地指出:

      "直到今天为止,几何学中的平行线理论是不完全的。从欧几里得时代以来,两千年徒劳无益的努力,使我怀疑在概念本身之中,并未包含那样的真实情况。"

      罗巴切夫斯基的出发点也同鲍耶一样,首先否定第 5公设,他公开宣称:

      “过直线外一点,至少可作两条直线和同一平面上的已知直线不相交。"

       以此为出发点研究了3年之后,他开始公开挑战了!1826年2月11日,34岁的数学教授在喀山大学学术委员会上宣读了自己研究的成果《几何原理概述及平行线定理的严格证明》。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。然而，这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对。 

       参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家，其中著名的数学家、天文学家西蒙诺夫（A.M.CИMOHOB），有后来成为科学院院士的古普费尔（A.R.KYI-Iφep）以及后来在数学界颇有声望的博拉斯曼（H.Д。Бp-aшMah）。在这些人的心目中，罗巴切夫斯基是一位很有才华的青年数学家。可是，出乎他们的意料，这位年轻的教授在简短的开场白之后，接着说的全是一些令人莫明其妙的话，诸如三角形的内角和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另一边不相交，等等。这些命题不仅离奇古怪，与欧几里得几何相冲突，而且还与人们的日常经验相背离。然而，报告者却认真地、充满信心地指出，它们属于一种逻辑严谨的新几何，和欧几里得向何有着同等的存在权利。这些古怪的语言，竟然出自一个头脑清楚、治学严谨的数家教授之口，不能不使与会者们感到意外。他们先是表现现一种疑惑和惊呆，不多一会儿，便流露出各种否定的表情。
       宣讲论文后，罗巴切夫斯基诚恳地请与会者讨论，提出修改意见。可是，谁也不肯作任何公开评论，会场上一片冷漠。一个具有独创性的重大发现作出了，那些最先聆听到发现者本人讲述发现内容的同行专家，却因思想上的守旧，不仅没能理解这一发现的重要意义，反而采取了冷谈和轻慢的态度，这实在是一件令人遗憾的事情。

       会后，系学术委员会委托西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼组成三人鉴定小组，对罗巴切夫斯基的论文作出书面鉴定。他们的态度无疑是否定的，但又迟迟不肯写出书面意见，以致最后连文稿也给弄丢了。

      高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但3人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在，但他没有向世人公布他的新思想，他受康特(Kant)唯心思想的影响，不敢向传统几何学界达2000年之久的欧氏几何挑战，以致推迟了非欧几何的诞生。波约致力于平行公设的研究，终于发现了新几何。这其中还有一个故事，当高斯决定将自己的发现秘而不宣时，波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世，然而高斯回信给他的父亲F波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己。整篇文章的内容，你儿子采取的思路和获得的结果，与我在30至35年前的思考不谋而合”，波约对高斯的回答深感失望。认为高斯想剽窃自己的成果，特别是在罗巴切夫斯基关于非欧几何的著作出版后，他更决定从此不再发表论文。       

      罗巴切夫斯基在1826年公开新几何思想后，并没有得到同代人的理解与赞扬，反而遭到讽刺和攻击，“可是没有任何力量可以动摇罗巴切夫斯基的信心，他像屹立在大海中的灯塔，惊涛骇浪的冲击，十足显出他刚毅的意志，他一生始终为新思想而斗争，在他双目失明时，还口授完成了《泛几何学》。       

      三人发现新几何的过程启示我们：只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；只有不畏艰难困苦，勇于为科学献身，才能追求、捍卫超越时代的真理．一般认为高斯、波约、罗巴切夫斯基3人同时发现了新几何，这是人们对历史的公正，但人们更喜欢称新几何为罗氏几何，这正是人们对罗巴切夫斯基为科学献身精神的高度赞扬。企图寻找替代公的做法持续了很长时期，替代的命题也不断出现。其中的形式上的简单性超过第五公设的主要有：1741年法国克雷洛提出的“如果四边形的三个内角是直角，那末第四个内角也必定是直角”；1769年芬恩提出的“两相交直线不能同时平行于第三条直线”；1795年苏格兰的普雷菲尔提出的“过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行”等。       

      由于普雷菲尔的命题最简明，因此受到普遍采用，现在的各国教科书中通常都用这一形式来代替第五公设，这一公设也叫平行公设。当然，这种替代并没有从根本上解决第五公设问题。虽然这些替代的命题都是在直接或间接证明第五公设中产生的，但证明过程，中所出现的各种思想方法，却对几何学的发展，特别是非欧几何的产生和发展起着积极而又重要的作用。如意大利的萨开里，从与平行公设相对立的假设出发，企图引出矛盾，用反证法证明平行公设。但他并没有得出矛盾，反而得到了非欧几休的许多定理。在这些方面做了大量工作的还有法国的勒让德，德国的克吕格尔、兰伯特、斯维卡特和托里努力斯等。1816年斯维卡特得出结论：应该承认存在两种几何，一种是欧氏几何，另一种是建立在三角形三内角之和小于两直角假设下的几何。他还认为，后一种几何也许要在星际空间中才能证明它是正饶。因此他称此为星空几何。他的外甥托里努力斯证明了虚半径球面上成立的公式刚好是星空几何中所成立的。       

      19世纪，德国数学家做了大量的工作：肯定平行公设的独立性，确定非欧几何的存在；注意到实球面上的几何具有以钝角假设为基础的几何性质，而虚球面上的几何具有以锐角假设为基础的几何性质，等等。不足的是，他们都只肯定了非欧几何存在的可能性，而未肯定非欧几何的合理性，即它也能像欧氏几何一样，描述物质空间。但他们的工作也为今后非欧几何的建立奠定了基础。

拓展材料：

  第五公设—从欧基里德到兰伯特 http://res.hersp.com/content/1634605

《数学史概论（第2版）》第226-230页：几何学的变革-欧几里得平行公设.pdf